题目内容
已知函数f（x）满足f(x)=x3+f ′(
)x2-x+C（其中f ′(
)为f（x）在点x=
处的导数，C为常数）．
（1）求f ′(
)的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．
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（1）求f ′(
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（2）求函数f（x）的单调区间．
分析：（1）由f(x)=x3+f ′(
)x2-x+C，得f ′(x)=3x2+2f ′(
)x-1．由此能求出f ′(
)的值．
（2）由f（x）=x3-x2-x+C．知f ′(x)=3x2-2x-1=3(x+
)(x-1)，列表讨论能求出f（x）的单调区间．
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（2）由f（x）=x3-x2-x+C．知f ′(x)=3x2-2x-1=3(x+
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解答：解：（1）由f(x)=x3+f ′(
)x2-x+C，得f ′(x)=3x2+2f ′(
)x-1．
取x=
，得f ′(
)=3×(
)2+2f ′(
)×(
)-1，
解之，得f ′(
)=-1，…（6分）
（2）因为f（x）=x3-x2-x+C．
从而f ′(x)=3x2-2x-1=3(x+
)(x-1)，列表如下：
∴f（x）的单调递增区间是(-∞ ， -
)，（1，+∞）；
f（x）的单调递减区间是(-
， 1)．…（12分）
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取x=
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解之，得f ′(
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（2）因为f（x）=x3-x2-x+C．
从而f ′(x)=3x2-2x-1=3(x+
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| x | (-∞，-
|
-
|
(-
|
1 | （1，+∞） | ||||||
| f'（x） | + | 0 | - | 0 | + | ||||||
| f（x） | ↗ | 有极大值 | ↘ | 有极小值 | ↗ |
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f（x）的单调递减区间是(-
| 1 |
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点评：本题考查函数的导数值的求法，考查函数的单调区间的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．
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