Question

【题目】已知椭圆的离心率为，短轴长为.

(1)求椭圆的方程；

(2)设， 是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连接交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点；

(3)在(2)的条件下，过点的直线与椭圆交于， 两点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) .(2) 见解析.(3) .

【解析】试题分析：⑴利用椭圆的定义和性质求出， ，即可求出椭圆的方程；⑵由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，由得，再由根与系数的关系证明直线与轴相交于定点；⑶分的斜率存在与不存在两种情况讨论，与椭圆方程联立得出点的坐标之间的关系，再表示出，进而可求出其取值范围；

解析：(1)由题意知，

又∵，∴，∴，

解，得，故椭圆的方程为.

(2)由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，

由得.①

设点， ，则，

直线的方程为，

令，得，将， 代入，

整理，得.②

由①得， 代入②整理，得.

∴直线与轴相交于定点.

(3)当过点直线的斜率存在时，设直线的方程为，

且， 在椭圆上，

由得，易知，

∴， ， ，

则，

∵，∴，

∴，

当过点直线的斜率不存在时，其方程为，

解得， 或， .

此时，∴的取值范围是.