题目内容

1.在计算“1×2+2×3+…+n(n+1)”时,某同学学到了如下一种方法:
先改写第k项:k(k+1)=$\frac{1}{3}$[k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)],
由此得1×2=$\frac{1}{3}$(1×2×3-0×1×2),
2×3=$\frac{1}{3}$(2×3×4-1×2×3),
…,
n(n+1)=$\frac{1}{3}$[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]
相加,得1×2+2×3+…+n(n+1)=$\frac{1}{3}$n(n+1)(n+2).
类比上述方法,请你计算“1×2×3×4+2×3×4×+…+n(n+1)(n+2)(n+3)”,其结果是$\frac{1}{5}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)$.(结果写出关于n的一次因式的积的形式)

分析 本题考查的知识点是类比推理,是要根据已知中给出的在计算“1×2+2×3+…+n(n+1)”时化简思路,对1×2×3×4+2×3×4×+…+n(n+1)(n+2)(n+3)”,)的计算结果进行化简,处理的方法就是类比,将n(n+1)(n+2)(n+3)进行合理的分解.

解答 解:∵n(n+1)(n+2)(n+3)=$\frac{1}{5}$[n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)-(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3]
∴1×2×3×4=$\frac{1}{5}$(1×2×3×4×5-0×1×2×3×4)
2×3×4×5=$\frac{1}{5}$(2×3×4×5×6-1×2×3×4×5)
…
n(n+1)(n+2)(n+3)=$\frac{1}{5}$[n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)-(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)]
∴1×2×3×4+2×3×4×5+…+n(n+1)(n+2)(n+3)=$\frac{1}{5}$[(1×2×3×4×5-0×1×2×3×4)+(2×3×4×5×6-1×2×3×4×5)+…+n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)-(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)]=$\frac{1}{5}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)$.
故答案为:$\frac{1}{5}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)$.

点评 类比推理的一般步骤是:(1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).

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