Question

若a是实常数，函数f（x）对于任何的非零实数x都有，且f（1）=1，则函数F（x）=f（x）（x∈D={x|x∈R，x＞0，f（x）≥x}）的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：利用题中函数等式，以代替x得，与原式联解得到，结合f（1）=1解出f（x）=．由此得到不等式f（x）≥x即≥x，解之得x∈（0，1]，函数即为F（x）=f（x）的定义域D．最后利用基本不等式，求F（x）=，x∈（0，1]时的最小值，即可得到本题的取值范围．
解答：解：∵函数f（x）满足，（x≠0）
∴以代替x，得，
两式联解，得
∵f（1）=1，∴令x=1，得a²-1=a+1+a+1，解之得a=3或-1（-1不符合题意，舍去）
因此，f（x）=，不等式f（x）≥x即≥x
化简得5x²-4x-1≤0，解之得-≤x≤1
∴集合D={x|x∈R，x＞0，f（x）≥x}=（0，1]
而F（x）=f（x），即F（x）=，x∈（0，1]
∵x＞0，可得
∴F（x）=的最小值为，当且仅当，即x=时取最小值
综上所述，F（x）=，x∈（0，1]的最小值是f（）=，没有最大值．
∴函数F（x）=f（x）（x∈D}）的取值范围是
故答案为：
点评：本题给出函数等式，在已知f（1）=1的情况下求函数的表达式，并依此求函数F（x）=f（x）在区间（0，1]上的值域．着重考查了函数解析式的求法、一元二次不等式的解法和利用基本不等式求最值等知识，属于中档题．