Question

（2013•上海）设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=9x+

a2

x

+7．若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为

a≤-

8

7

．

．

Answer 1

分析：先利用y=f（x）是定义在R上的奇函数求出x≥0时函数的解析式，将f（x）≥a+1对一切x≥0成立转化为函数的最小值≥a+1，利用基本不等式求出f（x）的最小值，解不等式求出a的范围．

解答：解：因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，
所以当x=0时，f（x）=0；
当x＞0时，则-x＜0，所以f（-x）=-9x-

a2

x

+7
因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（x）=9x+

a2

x

-7；
因为f（x）≥a+1对一切x≥0成立，
所以当x=0时，0≥a+1成立，
所以a≤-1；
当x＞0时，9x+

a2

x

-7≥a+1成立，
只需要9x+

a2

x

-7的最小值≥a+1，
因为9x+

a2

x

-7≥2

9x• a2 x

-7=6|a|-7，
所以6|a|-7≥a+1，
解得a≥

8

5

或a≤-

8

7

，
所以a≤-

8

7

．
故答案为a≤-

8

7

．
．

点评：本题考查函数解析式的求法；考查解决不等式恒成立转化成求函数的最值；利用基本不等式求函数的最值．