Question

三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，侧棱AA₁⊥底面ABC．AC⊥CB，D为AB中点，CB=1，AC=，A₁A=．
（I）求证：BC₁∥平面A₁CD；
（II）求三棱锥C₁-A₁DC的体积．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）欲证BC₁∥平面A₁CD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证BC₁与平面A₁CD内一直线平行，连接AC₁，设AC₁∩A₁C=E，连接DE，根据中位线定理可知ED∥DC₁，又ED?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD，满足定理所需条件；
（II）在平面ABC中过点D作AC的垂线，交AC于H．根据面面垂直的性质可知DH⊥面ACC₁A₁，V_D-AC1C=•DH•S_△AC1C，由等积法可得V_C1-A1DC=V_D-AC1C即可求出所求．
解答：（Ⅰ）证明：连接AC₁，设AC₁∩A₁C=E，连接DE
∵A₁B₁C₁-ABC是三棱柱，
侧棱AA₁⊥底面ABC．
且AC=AA₁=
∴AA₁C₁C是正方形，E是AC₁中点，
又D为AB中点
∴ED∥DC₁
又ED?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD
∴BC₁∥平面A₁CD
（II）在平面ABC中过点D作AC的垂线，交AC于H．由于
底面ABC⊥面ACC₁A₁，
且AC为两平面交线，
∴DH⊥面ACC₁A₁．
△ABC中，AB==2，所以∠BAC=30°，且AD=1．
在△ABC中，HD=ADsin30°=
由于S_△AC1C=，
所以V_D-AC1C=•DH•S_△AC1C=••=
∴由等积法可得V_C1-A1DC=V_D-AC1C=．
点评：本题主要考查直线与平面平行的判定，以及三棱锥的体积的计算，体积的求解在最近两年高考中频繁出现，值得重视．