Question

已知

x-y+2≥0 x+y-4≥0 2x-y-5≤0

求：
（Ⅰ）z=x²+y²-10y+25的最小值；
（Ⅱ）z=

y+1

x+1

的范围．

Answer 1

分析：（I）作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部．由两点的距离公式得z=x²+（y-5）²=|PQ|²，表示区域内某点P到Q（0，5）距离的平方，由此结合点到直线的距离公式即可算出z的最小值．
（II）由直线的斜率公式可得z=

y+1

x+1

表示域内某点P与M（-1，-1）连线的斜率，运动点P可得直线PM斜率的最大、最小值，即可得出z=

y+1

x+1

的取值范围．

解答：解：作出不等式组

x-y+2≥0 x+y-4≥0 2x-y-5≤0

表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中A（3，1），B（7，9），C（1，3）
（Ⅰ）设P（x，y）为区域内一个动点，Q（0，5）
∵z=x²+y²-10y+25=x²+（y-5）²=|PQ|²，表示点P、Q两点距离的平方
∴当点P与Q在直线x-y+2=0上的射影重合时，z=x²+y²-10y+25达最小值
∵Q到直线x-y+2=0的距离d=

|0-5+2|

2

=

3 2

2

∴z=x²+y²-10y+25的最小值为（

3 2

2

）²=

9

2

；
（II）设P（x，y）为区域内一个动点，M（-1，-1），
可得z=

y+1

x+1

表示P、M两点连线的斜率
运动点P，可得当P与A重合时，k_PM=

1

2

达到最小值；当P与C重合时，k_PM=2达到最大值
∴

1

2

≤k_PM≤2，即z=

y+1

x+1

的取值范围为[

1

2

，2]．

点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最值与取值范围，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域、两点的距离公式和直线的斜率等知识，属于基础题．