Question

已知实数x，y满足

x-y-2≤0 x+2y-5≥0 y-2≤0

，则z=

x2+y2

xy

的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先根据约束条件画出可行域，设z₁=

y

x

，再利用z₁的几何意义求最值得出

y

x

的取值范围，最后将z=

x2+y2

xy

表示为

y

x

的函数，即可解出答案．

解答：解：在平面直角坐标系上作出可行域后，
原点与可行域内任意一点的连线的斜率即

y

x

，
易求当连线过点A（1，2）时最大，最大值为2；当连线过点B（3，1）时最小，最小值为

1

3

；
∴

y

x

∈[

1

3

，2]，

x2+y2

xy

=

y

x

+

x

y

=t+

1

t

，t∈[

1

3

，2]
故

x2+y2

xy

∈[2，

10

3

]
故答案为：[2，

10

3

]．

点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．