Question

15．在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E的离心率为$\frac{1}{2}$，且过点M（2，3）．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积$\frac{1}{2}$的直线l₁，l₂．以椭圆E的右焦点C为圆心$\sqrt{2}$为半径作圆，当直线l₁，l₂都与圆C相切时，求P的坐标．

Answer 1

分析 （I）设椭圆E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由题意可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{9}{{b}^{2}}$=1，又a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（II）由（I）可知：圆心C（2，0），半径为$\sqrt{2}$．设P（x₀，y₀），直线l₁，l₂的斜率分别为k₁，k₂．则l₁的方程为：y-y₀=k₁（x-x₀），l₂的方程为：y-y₀=k₂（x-x₀），利用直线l₁与圆C相切的充要条件可得：$[（2-{x}_{0}）^{2}-2]{k}_{1}^{2}$+2（2-x₀）y₀k₁+${y}_{0}^{2}$=0，同理可得：$[（2-{x}_{0}）^{2}-2]$${k}_{2}^{2}$+2（2-x₀）y₀k₂+${y}_{0}^{2}$=0，因此k₁，k₂是方程：$[（2-{x}_{0}）^{2}-2]$k²+2（2-x₀）y₀k+${y}_{0}^{2}$=0的两个实数根．可得k₁k₂=$\frac{{y}_{0}^{2}-2}{（2-{x}_{0}）^{2}-2}$=$\frac{1}{2}$，又$\frac{{x}_{0}^{2}}{16}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{12}$=1．联立解出即可得出．

解答 解：（I）设椭圆E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{9}{{b}^{2}}$=1，又a²=b²+c²，
联立解得c=2，a=4，b²=12．
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
（II）由（I）可知：圆心C（2，0），半径为$\sqrt{2}$．
设P（x₀，y₀），直线l₁，l₂的斜率分别为k₁，k₂．
则l₁的方程为：y-y₀=k₁（x-x₀），l₂的方程为：y-y₀=k₂（x-x₀），
由直线l₁与圆C相切时，$\frac{|2{k}_{1}+{y}_{0}-{k}_{1}{x}_{0}|}{\sqrt{{k}_{1}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，
∴$[（2-{x}_{0}）^{2}-2]{k}_{1}^{2}$+2（2-x₀）y₀k₁+${y}_{0}^{2}$=0，同理可得：$[（2-{x}_{0}）^{2}-2]$${k}_{2}^{2}$+2（2-x₀）y₀k₂+${y}_{0}^{2}$=0，
∴k₁，k₂是方程：$[（2-{x}_{0}）^{2}-2]$k²+2（2-x₀）y₀k+${y}_{0}^{2}$=0的两个实数根．
∴$\left\{\begin{array}{l}{（2-{x}_{0}）^{2}≠0}\\{△＞0}\end{array}\right.$，且k₁k₂=$\frac{{y}_{0}^{2}-2}{（2-{x}_{0}）^{2}-2}$=$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{{x}_{0}^{2}}{16}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{12}$=1．
∴$5{x}_{0}^{2}$-8x₀-36=0，解得x₀=-2或$\frac{18}{5}$．
由x₀=-2，解得y₀=±3；由x₀=$\frac{18}{5}$，解得y₀=$±\frac{\sqrt{57}}{5}$，满足条件．
∴点P的坐标分别为：（-2，±3），$（\frac{18}{5}，±\frac{\sqrt{57}}{5}）$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切问题、一元二次方程的根与系数的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．