Question

已知抛物线C：y²=mx（m≠0）的准线与直线l：kx-y+2k=0（k≠0）的交点M在x轴上，与C交于不同的两点A、B，线段AB的垂直平分线交x轴于点N（p，0）。
（1）求抛物线C的方程；
（2）求实数p的取值范围；
（3）若C的焦点和准线为椭圆Q的一个焦点和一条准线，试求Q的短轴的端点的轨迹方程。

Answer 1

解：（1）因为点M在x轴上，令y=0代入，解得x=-2，
所以M（-2，0），
所以抛物线C：的准线为x=-2=，
所以m=8
所以抛物线C的方程为。
（2）由消去x得
，
∴
∴，
∴AB的中垂线方程为

令y=0得
∵
∴。
（3）∵抛物线焦点F（2，0），准线x=-2
∴x=-2是Q的左准线
设Q的中心为O′（x，0），则短轴端点为（x，±y）
①若F为左焦点，则c=x-2＞0，b=|y|
∴a²=b²+c²=（x-2）²+y²
依左准线方程有，
∴
即y²=4（x-2） （x＞2） ；
②若F为右焦点，则0＜x＜2，故c=2-x，b=|y|
∴a²=b²+c²=（2-x）²+y²
依左准线方程有
即
化简得2x²-4x+y²=0
即（0＜x＜2，y≠0）。