Question

已知抛物线C：y²=4x，点M（m，0）在x轴的正半轴上，过M的直线l与C相交于A、B两点，O为坐标原点．
（I）若m=1，且直线l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；
（II）问是否存在定点M，不论直线l绕点M如何转动，使得

1

|AM|2

+

1

|BM|2

恒为定值．

Answer 1

分析：（I）由题意得M（1，0），直线l的方程为y=x-1与抛物线方程联立，利用韦达定理，可得圆心坐标与圆的半径，从而可得圆的方程；
（II）若存在这样的点M，使得

1

|AM|2

+

1

|BM|2

为定值，直线l：x=ky+m与抛物线方程联立，计算|AM|，|BM|，利用

1

|AM|2

+

1

|BM|2

恒为定值，可求点M的坐标．

解答：解：（I）设A，B两点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点P的坐标为P（x₀，y₀），
由题意得M（1，0），直线l的方程为y=x-1．（2分）
由

y=x-1 y2=4x

可得x²-6x+1=0，
则x₁+x₂=6，x₁•x₂=1，∴x0=

x1+x2

2

=3，y0=x0-1=2．（4分）
故圆心为P（3，2），直径|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=8．
∴以AB为直径的圆的方程为（x-3）²+（y-2）²=16．（6分）
（II）若存在这样的点M，使得

1

|AM|2

+

1

|BM|2

为定值，直线l：x=ky+m．
由

x=ky+m y2=4x

，∴y²-4ky-4m=0，∴y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4m．
又∵|AM|2=

y

2 1

(1+k2)，|BM|2=

y

2 2

(1+k2)，
∴

1

|AM|2

+

1

|BM|2

=(

1

y 2 1

+

1

y 2 2

)•

1

1+k2

=

1

1+k2

•

(y1+y2)2-2y1y2

(y1y2)2

=

1

1+k2

•

16(k2+ m 2 )

16m2

，（13分）
因为要与k无关，只需令

m

2

=1，即m=2，进而

1

|AM|2

+

1

|BM|2

=

1

4

．
所以，存在定点M（2，0），不论直线l绕点M如何转动，

1

|AM|2

+

1

|BM|2

恒为定值

1

4

．

点评：本题考查圆的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，联立方程，正确运用韦达定理是关键．