Question

【题目】已知函数．

（1）若，求的单调区间；

（2）证明：只有一个零点．

Answer 1

【答案】解：

（1）当a=3时，f（x）=，f ′（x）=．

令f ′（x）=0解得x=或x=．

当x∈（–∞，）∪（，+∞）时，f ′（x）>0；

当x∈（，）时，f ′（x）<0．

故f（x）在（–∞，），（，+∞）单调递增，在（，）单调递减．

（2）由于，所以等价于．

设=，则g ′（x）=≥0，仅当x=0时g ′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．

又f（3a–1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一个零点．

综上，f（x）只有一个零点．

【解析】分析：（1）将代入，求导得，令求得增区间，令求得减区间；（2）令，即，则将问题转化为函数只有一个零点问题，研究函数单调性可得.

详解：（1）当a=3时，f（x）=，f ′（x）=．

令f ′（x）=0解得x=或x=．

当x∈（–∞，）∪（，+∞）时，f ′（x）>0；

当x∈（，）时，f ′（x）<0．

故f（x）在（–∞，），（，+∞）单调递增，在（，）单调递减．

（2）由于，所以等价于．

设=，则g ′（x）=≥0，仅当x=0时g ′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．

又f（3a–1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一个零点．

综上，f（x）只有一个零点．