Question

设a，b，c均为奇数，求证：ax²+bx+c=0无整数根

Answer 1

证明：假设方程有整数根x=x₀，
∴ax0²+bx₀+c=0，∴c=-（ax₀²+bx₀）
若x₀是偶数，
则ax₀²，bx₀是偶数，
ax₀²+bx₀是偶数，从而c是偶数，与题设矛盾、
若x₀是奇数，则ax₀²，bx₀是奇数，ax₀²+bx₀是偶数，
从而c是偶数，与题设矛盾．
综上所述，方程ax²+bx+c=0没有整数根．
分析：本题可用反证法．先假设有整数根，可从奇数和偶数两个方面讨论，如果与题设矛盾，则假设不成立，进而证明题设．
点评：本题主要考查方程的求根问题．适合用反证法．反证法的关键首先要反设，即假设结论成立，然后再利用所学知识导出一个矛盾．