Question

如图2-1,在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,AC=3,BC=4,AB=5,AA₁=4,点D是AB的中点.

图2-1

(1)求证:AC⊥BC₁;

(2)求证:AC₁∥平面CDB₁;

(3)求异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值.

Answer 1

思路分析:本题考查平行,垂直的论证及异面直线所成角的求法.要充分分析题目中的平行,垂直条件,可以用立体几何的方法来证,也可以用向量法来证.

证明:方法一:(1)∵直三棱柱ABC—A₁B₁C₁底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,

∴AC⊥BC,且BC₁在平面ABC内的射影为BC,

∴AC⊥BC₁.

(2)如图,设CB₁与C₁B的交点为E,连结DE,

∵D是AB的中点,E是BC₁的中点,

∴DE∥AC₁.

∵DE平面CDB₁,AC₁平面CDB₁,

∴AC₁∥平面CDB₁.

(3)∵DE∥AC₁,

∴∠CED为AC₁与B₁C所成的角.

在△CED中,ED=AC₁=,CD=AB=,CE=CB₁=,

∴cos∠CED=.

∴异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值为.

方法二:∵直三棱柱ABC—A₁B₁C₁底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,

∴AC,BC,C₁C两两垂直.

如图,以C为坐标原点,分别以直线CA,CB,CC₁为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,

则C(0,0,0),A(3,0,0),C₁(0,0,4),B(0,4,0),B₁(0,4,4),D(,2,0).

(1)∵=(-3,0,0),BC₁=(0,-4,4),

∴·=0.∴AC⊥BC₁.

(2)设CB₁与C₁B的交点为E,则E(0,2,2).

∵=(,0,2),=(-3,0,4),∴=.∴DE∥AC₁.

又∵平面CDB₁,AC₁平面CDB₁,∴AC₁∥平面CDB₁.

(3)∵=(-3,0,4),=(0,4,4),

∴cos〈,〉=.

∴异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值为.