Question

（2012•佛山一模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B=60°，cos（B+C）=-

11

14

．
（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）若a=5，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由B和C为三角形的内角，得到sin（B+C）大于0，由cos（B+C）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（B+C）的值，然后将C变形为（B+C）-B，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos[（B+C）-B]后，根据B的度数，利用特殊角的三角函数值求出sinB和cosB的值，将各自的值代入求出cos[（B+C）-B]的值，即为cosC的值；
（Ⅱ）由C为三角形的内角及第一问求出的cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，再由三角形的内角和定理及诱导公式得到sinA=sin（B+C），由sin（B+C）的值得到sinA的值，由sinC，sinA及a的值，利用正弦定理求出c的值，进而由a，c及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，由cos（B+C）=-

11

14

，
得sin（B+C）=

1-cos2(B+C)

=

1-(- 11 14 )2

=

5 3

14

，
又B=60°，
∴cosC=cos[（B+C）-B]
=cos（B+C）cosB+sin（B+C）sinB
=-

11

14

×

1

2

+

5 3

14

×

3

2

=

1

7

；…（6分）
（Ⅱ）∵cosC=

1

7

，C为三角形的内角，sin（B+C）=

5 3

14

，
∴sinC=

1-cos2C

=

1-( 1 7 )2

=

4 3

7

，sinA=sin（B+C）=

5 3

14

．
在△ABC中，由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

得：

5

5 3 14

=

c

4 3 7

，
∴c=8，又a=5，sinB=

3

2

，
则△ABC的面积为S=

1

2

acsinB=

1

2

×5×8×

3

2

=10

3

．…（12分）

点评：此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．