Question

（2012•佛山一模）设n∈N^*，圆C_n：x²+y²=

R

2 n

（R_n＞0）与y轴正半轴的交点为M，与曲线y=

x

的交点为N（

1

n

，yn），直线MN与x轴的交点为A（a_n，0）．
（1）用n表示R_n和a_n；
（2）求证：a_n＞a_n+1＞2；
（3）设S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，T_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，求证：

7

5

＜

Sn-2n

Tn

＜

3

2

．

Answer 1

分析：（1）确定N、M的坐标，利用N在圆C_n：x²+y²=

R

2 n

上，直线MN与x轴的交点为A（a_n，0），即可用n表示R_n和a_n；
（2）利用1+

1

n

＞1+

1

n+1

＞1，

1+ 1 n

＞

1+ 1 n+1

＞1，即可证得结论；
（3）先证当0≤x≤1时，1+(

2

-1)x≤

1+x

≤1+

x

2

，进而可得1+(

2

-1)×

1

n

≤

1+ 1 n

＜1+

1

2n

，从而2+

2

×

1

n

≤an=1+

1

n

+

1+ 1 n

＜2+

3

2n

，求和即可证得结论．

解答：（1）解：∵N（

1

n

，yn）在曲线y=

x

上，∴N（

1

n

，

1 n

）
代入圆C_n：x²+y²=

R

2 n

，可得Rn=

n+1

n

，∴M（0，

n+1

n

）
∵直线MN与x轴的交点为A（a_n，0）．
∴

1 n -0

1 n -an

=

1 n - n+1 n

1 n -0

∴an=1+

1

n

+

1+ 1 n

（2）证明：∵1+

1

n+1

＞1，

1+ 1 n+1

＞1
∴an+1=1+

1

n+1

+

1+ 1 n+1

＞2
∵1+

1

n

＞1+

1

n+1

，

1+ 1 n

＞

1+ 1 n+1

∴an=1+

1

n

+

1+ 1 n

＞1+

1

n+1

+

1+ 1 n+1

∴a_n＞a_n+1＞2；
（3）证明：先证当0≤x≤1时，1+(

2

-1)x≤

1+x

≤1+

x

2

事实上，1+(

2

-1)x≤

1+x

≤1+

x

2

等价于[1+(

2

-1)x]2≤1+x≤(1+

x

2

)2
等价于1+2(

2

-1)x+(3-2

2

)x2≤1+x≤1+x+

x2

4

等价于(2

2

-3)x+(3-2

2

)x2≤0≤

x2

4

后一个不等式显然成立，前一个不等式等价于x²-x≤0，即0≤x≤1
∴当0≤x≤1时，1+(

2

-1)x≤

1+x

≤1+

x

2

∴1+(

2

-1)×

1

n

≤

1+ 1 n

＜1+

1

2n

∴2+

2

×

1

n

≤an=1+

1

n

+

1+ 1 n

＜2+

3

2n

（等号仅在n=1时成立）
求和得2n+

2

×Tn≤Sn＜2n+

3

2

Tn
∴

7

5

＜

Sn-2n

Tn

＜

3

2

．

点评：本题考查数列与函数的综合，考查数列的通项，考查不等式的证明，证题的关键是证明当0≤x≤1时，1+(

2

-1)x≤

1+x

≤1+

x

2

，属于难题．