Question

已知：m＞0，n＞0，

n

m

＜1，证明：

n+1

m+1

＞

n

m

．

Answer 1

分析：法一：直接利用分析法的证明步骤，找出不等式成立的充分条件即可．法二：用综合法证明．欲证明左式＞右式，作差后，只要证明左式-右式＞0即可．

解答：证法一（用分析法）：∵m＞0，∴m+1＞0，（2分）
要证

n+1

m+1

＞

n

m

，（4分）
只须证：m（n+1）＞n（m+1），（6分）
即只须证：m＞n，（8分）∵m＞0，

n

m

＜1，∴n＜m成立，即m＞n成立，
∴原不等式成立．（10分）
证法二（用综合法）：∵

n+1

m+1

-

n

m

=

m(n+1)-n(m+1)

m(m+1)

=

m-n

m(m+1)

（4分）
∵m＞0，

n

m

＜1，∴n＜m，（6分）
∴m-n＞0，m+1＞0（8分）
∴

m-n

m(m+1)

＞0，
∴

n+1

m+1

-

n

m

＞0，原不等式成立．（10分）

点评：本题考查不等式的证明，考查分析法，综合法的运用，属于中档题．