Question

选做题：不等式选讲
（1）已知实数m＞0，n＞0，求证：

a2

m

+

b2

n

≥

(a+b)2

m+n

；
（2）利用（1）的结论，求函数y=

1

x

+

4

1-x

（其中x∈（0，1））的最小值．

Answer 1

分析：（1）由已知条件，把要证的不等式的左边减去右边通分化简为

(na-mb)2

mn(m+n)

，显然此值大于0，故不等式成立．
（2）把函数解析式化为

12

x

+

22

1-x

，利用（1）的结论，可得它大于或等于

(1+2)2

x+1-x

=9，由此得出结论．

解答：证明：（1）∵m＞0 且n＞0，

a2

m

+

b2

n

-

(a+b)2

m+n

=

na2+mb2

mn

-

(a+b)2

m+n

=

(m+n)(na2+mb2)-mn(a+b)2

mn(m+n)

=

(na-mb)2

mn(m+n)

≥0，…（4分）
所以

a2

m

+

b2

n

≥

(a+b)2

m+n

当且仅当na=mb时等号成立．…（6分）
（2）∵x∈（0，1），∴1-x＞0，
∴y=

1

x

+

4

1-x

=

12

x

+

22

1-x

 ≥

(1+2)2

x+1-x

=9…(8分) 
由（1-x）•1=x•2，可得x=

1

3

∈(0，1)，
故当x=

1

3

时，函数可得最小值 9．  …（10分）

点评：本题主要考查用综合法证明不等式，基本不等式的应用，式子的变形是解题的关键，属于中档题．