Question

如四棱锥P―ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AD//BC，CB⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，BC=1，DA=AB=2BC，F是线段AB的中点。

  

（1）求证：DF⊥PF；

（2）求PC与平面PDF所成的角。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

解析：（1）证明：∵CB⊥侧面PAB，PF平面PAB，∴PF⊥BC，

   又∵△PAB是等边三角形，F是线段AB的中点，∴PF⊥AB，

   ∴PF⊥平面ABCD，

    而DF平面ABCD，∴DF⊥PF。……………………5分

（2）方法一：

    作CH⊥DF，垂足为H，连接PH，

   由（1）知：PF⊥平面ABCD。

   ∴平面PDF⊥平面CDF，

∴CH⊥平面PDF，

∴PH是PC在平面PDF上的射影，

∴∠CPH是PC与平面PDF所成的角。

∵CB⊥侧面PAB，AD//BC，DA⊥侧面PAB，

∴△DAF，△BFC，△PBC都是直角三角形，

 BC=1，则DA=AB=2，AF=FB=1，

在三角形DFC中，DF=

可求得

∴直角三角形PHC中，

∴PC与平面PDF所成的角为……………………12分

方法二：

如图，以F为原点，建立空间直角坐标系。

 

BC=1，则DA=AB=2，AF=FB=1，PF=

从而C（1，1，0）、D（2，－1，0）、P（0，0）

设为平面PDF的法向量，由

，可求得

设PC与平面PDF所成的角为

∴PC与平面PDF所成的角为   ……………………12分