Question

（2013•南京二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，PB⊥平面ABCD，CD⊥BD，PB=AB=AD=1，点E在线段PA上，且满足PE=2EA．
（1）求三棱锥E-BAD的体积；
（2）求证：PC∥平面BDE．

Answer 1

分析：（1）先作垂线，求棱锥的高，再根据体积公式求棱锥的体积；
（2）根据在三角形中分相邻两边等比例的线段平行于底边，证线线平行，再由线线平行证明线面平行．

解答：解：（1）过E作EF⊥AB，垂足为F，
∵PB⊥平面ABCD，∴平面PAB⊥平面ABCD，
又平面PAB∩平面ABCD=AB，EF?平面PAB，
∴EF⊥平面ABCD，即EF为三棱锥E-BAD的高，
∵EF∥PB，PE=2EA，PB=1，∴EF=

1

3

，
∵CD⊥BD，梯形ABCD为直角梯形，∴∠A=90°，
∵AB=AD=1，∴V_E-BAD=

1

3

×S_△BAD×EF=

1

18

．
（2）证明：连接AC交BD与G，连接EG，
∵∠A=90°，AB=AD=1，∴BD=

2

，∠CBD=45°，
∵CD⊥BD，∴BC=2，
∵AD∥BC，BC=2，AD=1，∴

AG

GC

=

1

2

，
∵PE=2EA，∴EG∥PC，
又PC?平面BDE，EG?平面BDE，
∴PC∥平面BDE．

点评：本题考查线面平行的判定及棱锥的体积．