Question

（2012•唐山二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．
（I）求证：平面EAC⊥平面PBC；
（ II）若PC=

2

，求三棱锥C-ABE高的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得AC⊥PC，由AC²+BC²=AB²，可求得AC⊥BC，从而有AC⊥平面PBC，利用面面垂直的判定定理即可证得平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）由PC=

2

，知△PBC为等腰直角三角形，又AC为三棱锥A-BCE高，设三棱锥C-ABE的高为h，由S_△ABE•h=S_△BCE•AC即可求得h．

解答：解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥PC，
∵AB=2，AD=CD=1，
∴AC=BC=

2

，
∴AC²+BC²=AB²，
∴AC⊥BC，
又BC∩PC=C，
∴AC⊥平面PBC，
∵AC?平面EAC，
∴平面EAC⊥平面PBC．…（5分）
（Ⅱ）由PC=

2

，知△PBC为等腰直角三角形，则S_△BCE=

1

2

S_△PBC=

1

2

，
由（Ⅰ）知，AC为三棱锥A-BCE高．…（7分）
∵Rt△PCA≌Rt△PCB≌Rt△ACB，PA=PB=AB=2，
∴S_△ABE=

1

2

S_△PAB=

3

2

，
设三棱锥C-ABE的高为h，
则

1

3

S_△ABE•h=

1

3

S_△BCE•AC，即

1

3

×

3

2

h=

1

3

×

1

2

×

2

，
∴h=

6

3

，
∴三棱锥C-ABE的高等于

6

3

．…（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，考查点、线、面间的距离计算，突出几何体体积轮换公式的考查与应用，属于中档题．