Question

5．已知等差数列{a_n}的前5项和为105，且a₁₀=2a₅，对任意m∈N^*，将数列{a_n}中不大于7^2m的项的个数记为b_m．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_n•b_n求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，由前5项和为105，且a₁₀=2a₅，可得$\left\{\begin{array}{l}{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=105}\\{{a}_{1}+9d=2（{a}_{1}+4d）}\end{array}\right.$，解出可得a_n．对m∈N^*，a_n≤7^2m，即可得出b_m．
（2）c_n=a_n•b_n=n•49ⁿ．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵前5项和为105，且a₁₀=2a₅，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=105}\\{{a}_{1}+9d=2（{a}_{1}+4d）}\end{array}\right.$，解得a₁=d=7．
∴a_n=7+7（n-1）=7n．
对m∈N^*，a_n=7n≤7^2m，
则n≤7^2m-1，
b_m=7^2m-1．
（2）c_n=a_n•b_n=7n•7^2n-1=n•49ⁿ．
∴数列{c_n}的前n项和S_n=49+2×49²+3×49³+…+n•49ⁿ，
49S_n=49²+2×49³+…+（n-1）•49ⁿ+n•49ⁿ⁺¹，
∴-48S_n=49+49²+…+49ⁿ-+n•49ⁿ⁺¹=$\frac{49（4{9}^{n}-1）}{49-1}$-n•49ⁿ⁺¹=$\frac{1-48n}{48}•4{9}^{n+1}$-$\frac{49}{48}$，
∴S_n=$\frac{48n-1}{4{8}^{2}}•4{9}^{n+1}$+$\frac{49}{4{8}^{2}}$．

点评 本题考查了递推关系的应用、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．