Question

 如图，四棱锥的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．

(Ⅰ) 求证：平面AEC⊥平面PDB；

(Ⅱ) 当PD＝AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．

Answer 1

解：(1)证明　∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD.∵PD⊥底面ABCD，

∴PD⊥AC.又PD∩BD＝D，

∴AC⊥平面PDB.又AC⊂平面AEC，

∴平面AEC⊥平面PDB.-------------------6分

(2)解　设AC∩BD＝O，连接OE.

由(1)知，AC⊥平面PDB于点O，

∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角．

∵点O、E分别为DB、PB的中点，∴OE∥PD，且OE＝PD.

又∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，∴OE⊥AO.

在Rt△AOE中，OE＝PD＝AB＝AO，∴∠AEO＝45°.

即AE与平面PDB所成的角为45°-------------------12分.