Question

如图，在平面直角坐标系中，一条定长为m的线段其端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，设点M满足

AM

=λ

MB

（λ是大于0的常数）．
（Ⅰ）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；
（Ⅱ）若λ=2，已知直线l与原点O的距离为

m

2

，且直线l与动点M的轨迹有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用消参法求轨迹方程，先设出M点的坐标，根据已知

AM

=λ

MB

，转化为含参数的方程，再消掉参数，即可得到点M的轨迹方程，再根据方程中参数λ的范围，判断是什么曲线．
（Ⅱ）设出直线l的方程，利用直线l与原点O的距离为

m

2

，求出方程中k，b的关系，再根据直线l与动点M的轨迹有公共点，即可求出k的范围．

解答：解：（Ⅰ）设点M坐标为（x，y），点A坐标为（a，0），点B坐标为（0，b）
则，

AM

=（x-a，y），

MB

=（-x，b-y），
∵

AM

=λ

MB

，∴（x-a，y）=λ（-x，b-y），
∴x-a=-λx，y=λ（b-y）
∴a=λx+x，b=

λy+y

λ

∵线段AB长为m，∴a²+b²=m²
∴(λx+x)2+(

λy+y

λ

)2=m2
化简，得，(λ+1)2x2+(1+

1

λ

)2y2=m2
当λ=1时，点M的轨迹是圆心在坐标原点，半径为

2 m

2

的圆，
当λ≠1时，点M的轨迹是椭圆．
（Ⅱ）当λ=2时，点M的方程可化为x2+

y2

4

=

m2

9

当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=kx+b，
∵线l与原点O的距离为

m

2

，∴

|b|

k2+1

=

m

2

|b|=

m

2

k2+1

，b=±

m

2

k2+1

，
∴直线方程为y=kx±

m

2

k2+1

由

y=kx+ m 2 k2+1 x2+ y2 4 = m2 9

得，（1+

k2

4

）x²+

km k2+1 x

4

+

m2k2+m2

16

-

m2

9

=0
∵直线l与动点M的轨迹有公共点，∴方程组

y=kx+ m 2 k2+1 x2+ y2 4 = m2 9

有解
即方程（1+

k2

4

）x²+

km k2+1 x

4

+

m2k2+m2

16

-

m2

9

=0有解
∴△=(

km k2+1

4

)2-4（1+

k2

4

）（

m2k2+m2

16

-

m2

9

）≥0
化简得，m²≥5，m≥5或m≤-5
当y=kx-

m

2

k2+1

时，同样有m≥5或m≤-5成立
当直线斜率不存在时，直线与动点M的轨迹没有公共点．
直线l的斜率k的取值范围为（-∞，-

5

]∪[

5

，+∞）

点评：本题主要考查了消参法求轨迹方程，以及直线与椭圆位置关系的判断．