Question

1．直线l过点P（1，4）分别交x轴的正方向和y轴正方向于A、B两点．
①当|OA|+|OB|最小时，求l的方程．
②当|PA|•|PB|最小时，求l的方程．

Answer 1

分析 ①由已知直线l的斜率k＜0，设直线l的方程为y-4=k（x-1），则A（$-\frac{4}{k}+1$，0），B（0，-k+4），由此利用均值定理能求出|OA|+|OB|最小时直线l的方程．
②由|PA|•|PB|=$\sqrt{（-\frac{4}{k}+1-1）^{2}+{4}^{2}}$•$\sqrt{{1}^{2}+（-k+4-4）^{2}}$，利用均值定理能求出当|PA|•|PB|最小时，直线l的方程．

解答 解：①∵直线l过点P（1，4）分别交x轴的正方向和y轴正方向于A、B两点，
∴直线l的斜率k＜0，设直线l的方程为y-4=k（x-1），
则A（$-\frac{4}{k}+1$，0），B（0，-k+4），
∴|OA|+|OB|=-$\frac{4}{k}+1+（-k+4）$
=（-$\frac{4}{k}$-k）+5≥2$\sqrt{（-\frac{4}{k}）•（-k）}$+5=9，
当且仅当k=-2时取等号，∴l的方程为y-4=-2（x-1），
即2x+y-6=0．
②由①知|PA|•|PB|=$\sqrt{（-\frac{4}{k}+1-1）^{2}+{4}^{2}}$•$\sqrt{{1}^{2}+（-k+4-4）^{2}}$
=$\sqrt{\frac{16（{k}^{2}+1）^{2}}{{k}^{2}}}$=-$\frac{4}{k}（{k}^{2}+1）$=4（-$\frac{1}{k}-k$）≥4$•2\sqrt{（-\frac{1}{k}）•（-k）}$=8，
当且仅当k=-1时取等号，
∴l的方程为y-4=-（x-1），即x+y-5=0．

点评 本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．