题目内容

如图2-3-6,直角梯形ABCD中,以CD为直径的圆恰好与腰AB相切.

求证:以AB为直径的圆也与腰CD相切.

图2-3-6

思路分析：取CD、AB中点O1、O2,则O1、O2分别是两圆圆心,只需证O2到CD距离等于O2A或O2B即可.

证明:连结O1O2,作O2E⊥O1D于E,DF⊥O1O2于F.

∵O1C=O1D,O2B=O2A,

∴O1O2∥AD∥BC.

∴AB⊥O1O2.∴DF=AO2.

∵AB与⊙O1相切,∴O1O2=O1D.

∴△O1O2E≌△O1DF.∴O2E=DF.∴O2E=O2A.

∴⊙O2与CD相切于E点.

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图2-3-6

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