Question

【题目】已知椭圆的方程为,其离心率,且短轴的个端点与两焦点组成的三角形面积为,过椭圆上的点作轴的垂线,垂足为,点满足,设点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程;

（2）若直线与曲线相切,且交椭圆于两点, ,记的面积为, 的面积为,求的最大值 .

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）根据题意可得椭圆的方程为，设，

由，得，根据代入法可得曲线的方程为．（2）由题知直线的斜率存在，设直线的方程为，由与圆相切可得．将与联立可得二次方程，然后由根与系数的关系及弦长公式可得，从而得到，，求得后再根据基本不等式求解即可得到所求．

(1)依题意可得 ，

由，

解得，椭圆方程为.

设，

由，得，

代人椭圆方程得曲线的方程为．

(2)由题知直线的斜率存在，设直线的方程为，

由与圆相切可得，即.

由消整理得

又直线与椭圆交于两点，

所以，故得．

设，

则，，

.

则，.

，

当且仅当，即时，等号成立．

所以的最大值为．