Question

【题目】已知点P（0，-2），椭圆E： 的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线PF的斜率为2，O为坐标原点．

（1）求椭圆E的方程；

（2）直线l被圆O：x2+y2=3截得的弦长为3，且与椭圆E交于A、B两点，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）由直线PF的斜率和离心率列方程组求解即可；

（2）当直线l与y轴平行时，易得△AOB面积为，当直线l与y轴不平行时，设直线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），由直线与椭圆联立得（2k2+1）x2+4kmx+2（m2-1）=0，用弦长公式和点到直线距离公式求解面积即可.

试题解析：

（1）设F（c，0），由已知得，直线PF的斜率k=，得c=1，又，

则，b=1，故椭圆E的方程为

（2）记点O到直线l的距离为d，则，

①当直线l与y轴平行时，直线l的方程为，易求，∴，

②当直线l与y轴不平行时，设直线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），

由已知得，∴，

由得（2k2+1）x2+4kmx+2（m2-1）=0，又△=10k2+2＞0，

∴，，∴，

，

，当且仅当k=±1时取等号，

综上当k=±1时，△AOB面积的最大值为