Question

已知两定点，，满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A，B两点 如果，且曲线E上存在点C，使，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：由双曲线的定义可知曲线E的方程，将直线方程代入双曲线方程，利用韦达定理可确定k的范围，利用弦长公式，可求k的值，根据，可得点C的坐标代入曲线E的方程，即可得到结论．
解答：解：由双曲线的定义可知，曲线E是以为焦点的双曲线的左支，且，
所以b=1．
故曲线E的方程为x²-y²=1（x＜0）．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，得（1-k²）x²+2kx-2=0．
由已知得，，解得．
∵==6．
即28k⁴-55k²+25=0，∴或．
又∵，∴．
故，．
设C（x_c，y_c），由已知，得（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=（mx_c，my_c），且m≠0．
∴，即C（）．
将点C的坐标代入曲线E的方程，得，∴m=±4．
但当m=-4时，点C不在曲线E上，不合题意．
∴m=4．
点评：本题考查双曲线的定义，考查直线与双曲线的位置关系，考查弦长公式的运用，考查向量知识，属于中档题．