Question

已知点A（-1，0），B（1，0），动点P满足，记动点P的轨迹为W．
（Ⅰ）求W的方程；  
（Ⅱ）直线y=kx+1与曲线W交于不同的两点C，D，若存在点M（m，0），使得|CM|=|DM|成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依题意，点P到两定点A、B的距离之和为定值，且此值大于两定点间的距离2，由椭圆定义可知动点P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为的椭圆，从而写出W的标准方程
（Ⅱ）先将直线方程与曲线W的方程联立，得关于x的一元二次方程，利用韦达定理，写出交点C、D的横坐标的和与积，再求出线段CD的中垂线的方程，此直线与x轴的交点即为M，从而得m关于k的函数，求函数值域即可
解答：解：（Ⅰ）∵＞|AB|=2
∴由椭圆的定义可知，动点P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为的椭圆．
∴c=1，，b²=2．
∴W的方程是．          
（Ⅱ）设C，D两点坐标分别为C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），C，D中点为N（x，y）．
由得 （3k²+2）x²+6kx-3=0．
∵△=36k²+12（3k²+2）＞0
∴，
∴，从而．
∴线段CD的中垂线的方程为y-y=-（x-x）
即y-=-（x+）
令y=0，得x=-
∵存在点M（m，0），使得|CM|=|DM|
∴m=
当k=0时，m=0
当k＞0时，≥-=-
即m
当k＜0时，≤=
即m

∴m∪{0}=．
故所求m的取范围是．
点评：本题考查了椭圆的定义及椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，特别是直线与椭圆相交时，利用韦达定理设而不求的技巧解决几何问题，是本题考查的重点