Question

已知点A（-1，0），B（1，0），M是平面上的一动点，过M作直线l：x=4的垂线，垂足为N，且|MN|=2|MB|．
（1）求M点的轨迹C的方程；
（2）当M点在C上移动时，|MN|能否成为|MA|与|MB|的等比中项？若能求出M点的坐标，若不能说明理．

Answer 1

分析：（1）设出点的坐标，利用|MN|=2|MB|，建立方程，化简即可得出结论；
（2）假设存在M（m，n）（-2≤m≤2），|MN|能成为|MA|与|MB|的等比中项，则|MN|²=|MA||MB|，利用A（-1，0），B（1，0）是

x2

4

+

y2

3

=1的焦点，即可得出结论．

解答：解：（1）设M（x，y），则N（4，y）
∵|MN|=2|MB|
∴|x-4|=2

(x-1)2+y2

∴

x2

4

+

y2

3

=1
（2）假设存在M（m，n）（-2≤m≤2），|MN|能成为|MA|与|MB|的等比中项，则|MN|=4-m，|MB|=2-

m

2

∵A（-1，0），B（1，0）是

x2

4

+

y2

3

=1的焦点
∴|MA|=2×2-2（2-

m

2

）=2+

m

2

∵|MN|²=|MA||MB|
∴（4-m）²=（2+

m

2

）（2-

m

2

）
∴5m²-32m+48=0
∴m=

12

5

或m=4
∵-2≤m≤2，
∴不存在M，|MN|能成为|MA|与|MB|的等比中项．

点评：本题考查轨迹方程，考查等比中项，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．