Question

设z是虚数，w＝z＋是实数，且－1＜w＜2．

(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；

(2)设u＝，求证：u为纯虚数；

(3)求w－u²的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：设z＝a＋bi(a、b∈R，且b≠0)， 　　则w＝z＋＝a＋bi＋ 　　＝(a＋)＋()i． 　　∵w是实数， 　　∴b－＝0． 　　由b≠0，得a2＋b2＝1， 　　即|z|＝1． 　　∵|z|＝1， 　　∴z·＝|z|2＝1． 　　∴w＝z＋＝z＋＝2a． 　　由已知－1＜w＜2， 　　即－1＜2a＜2， 　　解得－＜a＜1． 　　(2)证明：， 　　∵z≠1(否则w＝2矛盾)，∴u≠0． 　　从而u为纯虚数． 　　(3)解：u＝， 　　∴w＝u2＝2a－()2 　　＝2a－ 　　＝2a－＝2a＋ 　　＝2(1＋a)＋－3． 　　∵－＜a＜1， 　　∴＜1＋a＜2． 　　∴4≤2(1＋a)＋＜5． 　　∴w－u2的最小值为1．