Question

设z是虚数，w＝z＋是实数，但－1＜w＜2．

(1)设u＝，求证：u为纯虚数；

(2)求w－u²的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设z＝a＋bi，u＝， 　　∵a∈(，1)，b≠0，∴u为纯虚数． 　　(2)w＝z＋， 　　∵w为实数， 　　∴w＝2a，且a2＋b2＝1． 　　∴w－u2＝ 　　＝＝2[(a＋1)＋]－3， 　　∵a∈(，1)，∴a＋1＞0．故w－u2≥2·－3＝4－3＝1． 　　当a＋1＝，即a＝0时，w－u2取得最小值1． 　　思路分析：本题表面上看是考查复数的有关概念，但实质上是借复数的知识考查学生的化归能力，考查均值不等式的应用，同时综合考查学生运用所学知识解决问题的能力，是高考改革的方向．