Question

（2013•肇庆二模）在△ABC中，内角A，B，C所对边的边长分别是a，b，c．
（1）若c=2，C=

π

3

且△ABC的面积等于

3

，求cos（A+B）和a，b的值；
（2）若B是钝角，且cosA=

3

5

，sinB=

12

13

，求sinC的值．

Answer 1

分析：（1）根据三角形内角和，算出A+B=π-C=

2π

3

，即可得到cos（A+B）=-

1

2

．根据余弦定理，结合题中数据列式，化简得a²+b²-ab=4，由正弦定理关于三角形面积的公式算出ab=4，两式联解即可得到a=b=2；
（2）根据B是钝角和sinB=

12

13

，利用同角三角函数关系算出cosB=-

5

13

；由cosA=

3

5

算出sinA=

1-cos2A

=

4

5

，从而得sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

16

65

，结合三角形内角和与诱导公式即可算出sinC的值．

解答：解（1）∵A+B+C=π，C=

π

3

，∴A+B=π-C=

2π

3

由此可得：cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC=-cos

π

3

=-

1

2

（2分）
根据余弦定理，得c²=a²+b²-2abcosC，
∴a²+b²-ab=4，（4分）
又∵△ABC的面积等于

3

，即

1

2

absinC=

3

，
∴

1

2

ab×

3

2

=

3

，解之得ab=4．       （5分）
联立方程组

a2+b2-ab=4 ab=4

，解之得a=2，b=2．    （7分）
（2）∵B是钝角，且cosA=

3

5

＞0，sinB=

12

13

∴sinA=

1-cos2A

=

1-( 3 5 )2

=

4

5

（8分）
cosB=-

1-sin2B

=-

1-( 12 13 )2

=-

5

13

（9分）
因此，sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）
=sinAcosB+cosAsinB=

4

5

×(-

5

13

)+

3

5

×

12

13

=

16

65

（12分）

点评：本题给出三角形的一边和其对角，在已知三角形的面积情况下求其它两边的长，着重考查了三角函数的诱导公式、同角三角三角函数的基本关系、正弦定理的面积公式和利用正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．