Question

11．已知函数f（x）=（$\sqrt{3}$sinx+cosx）cosx-$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）用五点作图法作出函数f（x）在x∈[0，π]上的简图．
（Ⅱ）若f（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，-$\frac{π}{2}$＜α＜0，求sin（2α-$\frac{π}{4}$）的值．
（III）若?x∈[0，$\frac{π}{2}$]，都有f（x）-c≤0，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）用五点法法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的简图．
（Ⅱ）由已知利用诱导公式可求cosα，结合范围，利用同角三角函数基本关系式可求sinα，进而利用二倍角公式可求sin2α，cos2α的值，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．
（III）先求得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）在区间[0，$\frac{π}{6}$]上为增函数，在区间[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上为减函数，f（0）=$\frac{1}{2}$，f（$\frac{π}{6}$）=1，f（$\frac{π}{2}$）=-1，可得函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值为1，从而可求实数c的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=（$\sqrt{3}$sinx+cosx）cosx-$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x-$\frac{1}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
列表如下：

2x+$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{12}$
f（x）	0	1	0	-1	0

描点连线作图如下：

（Ⅱ）∵f（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{6}$）=sin（α+$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{6}$）=cosα=$\frac{3}{5}$，-$\frac{π}{2}$＜α＜0，
∴sinα=-$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=-$\frac{4}{5}$，sin2α=2sinαcosα=-$\frac{24}{25}$，cos2α=2cos²α-1=-$\frac{7}{25}$，
∴sin（2α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sin2α-cos2α）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（-$\frac{24}{25}$+$\frac{7}{25}$）=-$\frac{17\sqrt{2}}{50}$．
（III）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∵f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）在区间[0，$\frac{π}{6}$]上为增函数，在区间[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上为减函数，
又f（0）=$\frac{1}{2}$，f（$\frac{π}{6}$）=1，f（$\frac{π}{2}$）=-$\frac{1}{2}$，
∴函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值为1，最小值为-1，
∴c≥f（x）_max=1．

点评 本题主要考察用五点法法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的简图，诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角差的正弦函数公式，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了计算能力和转化思想，考查了数形结合思想，属于中档题．