Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=AA₁，∠BAA₁=60°．
（Ⅰ）证明AB⊥A₁C；
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA₁B₁B，AB=CB，求直线A₁C与平面BB₁C₁C所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA₁，A₁B，由已知可证OA₁⊥AB，AB⊥平面OA₁C，进而可得AB⊥A₁C；
（Ⅱ）易证OA，OA₁，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立坐标系，可得，，的坐标，设=（x，y，z）为平面BB₁C₁C的法向量，则，可解得=（，1，-1），可求cos＜，＞，即为所求正弦值．
解答：解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA₁，A₁B，
因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA₁，∠BAA₁=60°，
所以△AA₁B为等边三角形，所以OA₁⊥AB，
又因为OC∩OA₁=O，所以AB⊥平面OA₁C，
又A₁C?平面OA₁C，故AB⊥A₁C；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA₁⊥AB，又平面ABC⊥平面AA₁B₁B，交线为AB，
所以OC⊥平面AA₁B₁B，故OA，OA₁，OC两两垂直．
以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立如图所示的坐标系，
可得A（1，0，0），A₁（0，，0），C（0，0，），B（-1，0，0），
则=（1，0，），=（-1，，0），=（0，-，），
设=（x，y，z）为平面BB₁C₁C的法向量，则，即，
可取y=1，可得=（，1，-1），故cos＜，＞==，
故直线A₁C与平面BB₁C₁C所成角的正弦值为．
点评：本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定，属难题．