题目内容
已知双曲线
-
=1的左右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交双曲线右支于A，B两点，且
=3
，若△ABF1是以B为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率等于（ ）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| AF2 |
| F2B |
分析：将向量关系转化为长度关系，然后利用双曲线的定义分别将边长表示为a的关系，然后利用余弦定理建立a，c的方程，从而求出双曲线的离心率．
解答：解：因为
=3
，所以AF2=3F2B，设BF2=m，则AF2=3m，所以BF2=AB=4m．
又BF1-BF2=3m=2a，即m=
，
所以BF1=4m=
，
又AF1-AF2=AF1-3m=2a，所以AF1=2a+3m=4a．
由余弦定理得cos∠ABF1=
=
=-
．
又|F1F2|2=F1B2+F2B2-2F1B?F2Bcos?∠ABF1，
即4c2=(
)2+(
)2-2×
×
(-
)=8a2，
所以c2=2a2，即c=
a，即离心率e=
=
．
故选D．
| AF2 |
| F2B |
又BF1-BF2=3m=2a，即m=
| 2a |
| 3 |
所以BF1=4m=
| 8a |
| 3 |
又AF1-AF2=AF1-3m=2a，所以AF1=2a+3m=4a．
由余弦定理得cos∠ABF1=
| AB2+F1B2-F1A2 |
| 2AB?F1B |
(
| ||||
2×(
|
| 1 |
| 8 |
又|F1F2|2=F1B2+F2B2-2F1B?F2Bcos?∠ABF1，
即4c2=(
| 8a |
| 3 |
| 2a |
| 3 |
| 8a |
| 3 |
| 2a |
| 3 |
| 1 |
| 8 |
所以c2=2a2，即c=
| 2 |
| c |
| a |
| 2 |
故选D．
点评：本题主要考查双曲线的定义以及余弦定理的应用，将向量关系转化为长度关系，利用余弦定理求出边长和a，c之间的关系是解决本题的关键．本题运算量较大，综合性较强，考查学生的运算能力．
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