Question

已知函数

   （1）若；

   （2）是否存在实数m，使函数恰有四个不同的零点？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由.

Answer 1

解：（1）令，则

   

    由于x＞0，得F′(x)＞0，知F(x)在（0，+∞）上为增函数，

    又因为F(x)在x=0处连续，得上为增函数，

    所以

   （2）假设存在实数m，使得函数有四个不同的零点，所以方程有四个不同的根，令，所以方程应该有两个不同的正根，

    令 因为，

    所以当，

    因此函数在（0，1）上是减函数；在（1，+∞）上是增函数

    因为的图像如图所示.

          

    所以要使方程有两个不同的正根，则的图像在y轴右侧应该有两个不同的交点，

    所以