Question

对于数列{b_n}，2b1+3b2+…+(n+1)bn=

n(n+1)

2

（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设an=1-e-n，bn=

n

n+1

，（n∈N^*），求证．b_n≤a_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由2b1+3b2+…+(n+1)bn=

n(n+1)

2

，得b1+3b2+…+nbn-1=

n(n-1)

2

，故（n+1）b_n=n，由此能求出数列{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）设要证an≥bn(n∈N*)，即证1-e^-n≥

n

n+1

，也即证（n+1）（1-e^-n）≥n，即证 n+1≤eⁿ．由此能够证明b_n≤a_n．

解答：解：（Ⅰ）2b1+3b2+…+(n+1)bn=

n(n+1)

2

  …①
b1+3b2+…+nbn-1=

n(n-1)

2

…②
①-②得：（n+1）b_n=n，
∴bn=

n

n+1

，（n≥2）
n=1时，2b1=

1×2

2

=1，
∴b1=

1

2

，
∴bn =

n

n+1

，（n≥1）．
（Ⅱ）要证an≥bn(n∈N*)，
 即证1-e^-n≥

n

n+1

，
也即证（n+1）（1-e^-n）≥n，
即证 n+1≤eⁿ．
下面证n+1≤eⁿ：
设函数f（x）=1+x-e^x，
f′（x）=1-e^x，
令f′（x）=0，得：x=0
∴x＜0时，f′（x）＞0，
则f（x）在（-∞，0）上单增；
x＞0时，f′（x）＜0，则f（x）在（0，+∞）上单减．
∴f（x）_max=f（0）=0，
∴1+x-e^x≤0，
∴1+n≤eⁿ．
故b_n≤a_n．

点评：本题考查数列与函数的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易错点是把证明b_n≤a_n转化为证明n+1≤eⁿ，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．