Question

（2005•上海模拟）已知数列{a_n}有a₁?a，a₂?p （常数p＞0），对任意的正整数n，S_n?a₁a₂…a_n，并有S_n满足Sn=

n(an-a1)

2

．
（1）求a的值；
（2）试确定数列{a_n}是否是等差数列，若是，求出其通项公式，若不是，说明理由；
（3）对于数列{b_n}，假如存在一个常数b使得对任意的正整数n都有b_n＜b，且

lim

n→∞

bn=b，则称b为数列{b_n}的“上渐进值”，求数列

an-1

an+1

的“上渐进值”．

Answer 1

分析：（1）由 a=a₁=s₁ 和 Sn=

n(an-a1)

2

 可得 a 的值．
（2）先求出 S_n，可得 S_n-1，根据S_n-S_n-1=a_n，化简可得 

an

an-1

=

n-1

n-2

，a_n =k（n-1），故数列{a_n}是
等差数列．由a₂ =p=k•（2-1），求出 k 值，得到a_n =p（n-1）=pn-p．
（3）根据

an-1

an+1

=

(pn-p)-1

(pn-p)+1

＜1，且  

lim

n→∞

(pn-p)-1

(pn-p)+1

=1，得出数列

an-1

an+1

的“上渐进值”为1．

解答：解：（1）由 a=a₁=s₁ 和 Sn=

n(an-a1)

2

，
可得a1= 

1×(a1-a1)

2

=0，∴a=0．
（2）∵Sn=

n(an-a1)

2

=

nan

2

，∴Sn-1=

(n-1) •an-1

2

．
作差可得 S_n-S_n-1=

nan

2

-

(n-1) •an-1

2

，又S_n-S_n-1=a_n，化简可得 

an

an-1

=

n-1

n-2

．
∴a_n =k（n-1），故数列{a_n}是等差数列．
显然满足a₁=0，a₂ =p=k•（2-1），∴k=p．
∴a_n =p（n-1）=pn-p．
故故数列{a_n}的通项为a_n =p（n-1），是首项为0，公差为p的等差数列．
（3）∵

an-1

an+1

=

(pn-p)-1

(pn-p)+1

＜1，

lim

n→∞

(pn-p)-1

(pn-p)+1

=1，
故数列{

an-1

an+1

} 的“上渐进值”为1．

点评：本题主要考查等差关系的确定，求数列极限的方法，“上渐进值”的定义，求出a_n =k（n-1），是解题的关键．