Question

对于数列{b_n}，2
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，，（n∈N^*），求证．b_n≤a_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由2，得，故（n+1）b_n=n，由此能求出数列{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）设要证，即证1-e^-n≥，也即证（n+1）（1-e^-n）≥n，即证 n+1≤eⁿ．由此能够证明b_n≤a_n．
解答：解：（Ⅰ）2  …①
…②
①-②得：（n+1）b_n=n，
∴，（n≥2）
n=1时，，
∴，
∴，（n≥1）．
（Ⅱ）要证，
 即证1-e^-n≥，
也即证（n+1）（1-e^-n）≥n，
即证 n+1≤eⁿ．
下面证n+1≤eⁿ：
设函数f（x）=1+x-e^x，
f′（x）=1-e^x，
令f′（x）=0，得：x=0
∴x＜0时，f′（x）＞0，
则f（x）在（-∞，0）上单增；
x＞0时，f′（x）＜0，则f（x）在（0，+∞）上单减．
∴f（x）_max=f（0）=0，
∴1+x-e^x≤0，
∴1+n≤eⁿ．
故b_n≤a_n．
点评：本题考查数列与函数的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易错点是把证明b_n≤a_n转化为证明n+1≤eⁿ，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．