题目内容
已知数列{an}：a1a2，…，an（0≤a1＜a2…＜an），n≥3时具有性质P：对任意的i，j（1≤i＜j≤n），aj+ai与aj-ai两数中至少有一个是该数列中的一项，现给出以下四个命题：①数列0，1，3具有性质P； ②数列0，2，4，6具有性质P；
③数列{an}具有性质P，则a1=0； ④若数列a1，a2，a3（0≤a1＜a2＜a3）具有性质P，则a1+a3=2a2．
其中真命题的序号为 ．（所有正确命题的序号都写上）
【答案】分析：根据数列：a1，a2，…an（0≤a1＜a2…＜an），n≥3时具有性质P，对任意i，j（1≤i≤j≤n），aj+ai与aj-ai两数中至少有一个是该数列中的一项，逐一验证，可知①错误，其余都正确．
解答：解：∵对任意i，j（1≤i≤j≤n），aj+ai与aj-ai两数中至少有一个是该数列中的项，
①数列0，1，3中，a2+a3=1+3=4和a3-a2=3-1=2都不是该数列中的数，故①不正确；
②数列0，2，4，6，aj+ai与aj-ai（1≤i≤j≤3）两数中都是该数列中的项，
并且a4-a3=2是该数列中的项，故②正确；
③若数列{an}具有性质P，则an+an=2an与an-an=0两数中至少有一个是该数列中的一项，
∵0≤a1＜a2＜…＜an，n≥3，
而2an不是该数列中的项，∴0是该数列中的项，
∴a1=0；故③正确；
④∵数列a1，a2，a3具有性质P，0≤a1＜a2＜a3，
∴a1+a3与a3-a1至少有一个是该数列中的一项，且a1=0，
1°若a1+a3是该数列中的一项，则a1+a3=a3，
∴a1=0，易知a2+a3不是该数列的项
∴a3-a2=a2，∴a1+a3=2a2．
2°若a3-a1是该数列中的一项，则a3-a1=a1或a2或a3，
①若a3-a1=a3同1°，
②若a3-a1=a2，则a3=a2，与a2＜a3矛盾，
③a3-a1=a1，则a3=2a1，
综上a1+a3=2a2．故④正确．
故答案为：②③④．
点评：考查数列的综合应用，此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属中档题．
解答：解：∵对任意i，j（1≤i≤j≤n），aj+ai与aj-ai两数中至少有一个是该数列中的项，
①数列0，1，3中，a2+a3=1+3=4和a3-a2=3-1=2都不是该数列中的数，故①不正确；
②数列0，2，4，6，aj+ai与aj-ai（1≤i≤j≤3）两数中都是该数列中的项，
并且a4-a3=2是该数列中的项，故②正确；
③若数列{an}具有性质P，则an+an=2an与an-an=0两数中至少有一个是该数列中的一项，
∵0≤a1＜a2＜…＜an，n≥3，
而2an不是该数列中的项，∴0是该数列中的项，
∴a1=0；故③正确；
④∵数列a1，a2，a3具有性质P，0≤a1＜a2＜a3，
∴a1+a3与a3-a1至少有一个是该数列中的一项，且a1=0，
1°若a1+a3是该数列中的一项，则a1+a3=a3，
∴a1=0，易知a2+a3不是该数列的项
∴a3-a2=a2，∴a1+a3=2a2．
2°若a3-a1是该数列中的一项，则a3-a1=a1或a2或a3，
①若a3-a1=a3同1°，
②若a3-a1=a2，则a3=a2，与a2＜a3矛盾，
③a3-a1=a1，则a3=2a1，
综上a1+a3=2a2．故④正确．
故答案为：②③④．
点评：考查数列的综合应用，此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属中档题．
练习册系列答案
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,…,其中a是大于零的常数,记{an}的前n项和为Sn,计算S1,S2,S3的值,由此推出计算Sn的公式,并用数学归纳法加以证明.