Question

（2010•河东区一模）已知函数f（x）=[sin（

π

4

+x）sin（

π

4

-x）]•sin（

π

3

+x）
（1）求函数，f（x）的最大值，并求取得最大值时x值的集合：
（2）求函数f（x）的最小正周期，并判断函数f（x）的图象与x轴是否有交点，请说明理出．

Answer 1

分析：（1）通过两角和与差的三角函数化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，然后求出函数f（x）的最大值，以及取得最大值时x值的集合：
（2）通过函数的解析式利用周期公式求出函数f（x）的最小正周期，求出函数的最小值，即可判断函数f（x）的图象与x轴是否有交点．

解答：解：（1）函数f（x）=[sin（

π

4

+x）sin（

π

4

-x）]•sin（

π

3

+x）
=

2

sinx（

3

2

cosx+

1

2

sinx）
=

6

2

sinxcosx+

2

2

sin2x
=

2

2

sin(2x-

π

6

)+

2

4

所以函数f（x）的最大值，

2

2

+

2

4

=

3 2

4

，
取得最大值时x值的集合：{x|x=kπ+

π

3

，k∈Z}
（2）由（1）可知函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
函数的最小值为：-

2

2

+

2

4

=-

2

4

＜0，
所以函数f（x）的图象与x轴有交点．

点评：本题考查三角函数的化简求值，函数的周期的求法，以及函数的最小值的应用，考查计算能力．