Question

【题目】已知函数，其中为自然对数的底数.

（1）证明：在上单调递增.

（2）设，函数，如果总存在，对任意，都成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）根据定义任取,,且,利用作差,变形后即可判断符号,即可证明函数的单调性.

（2）根据定义可判断和的奇偶性.由不等式在区间上的恒成立,可知存在,对任意都有.根据解析式及单调性,分别求得的最大值和的最大值,即可得不等式.再利用换元法,构造对勾函数形式,即可解不等式求得的取值范围.

（1）证明：任取,,且,则

因为,,所以,,,

所以,即当时,总有,所以在上单调递增.

（2）由,

得是上的偶函数,同理,也是上的偶函数.

总存在,对任意都有,即函数在上的最大值不小于,的最大值.

由（1）知在上单调递增,所以当时,的最大值为,

.

因为,,所以当时,的最大值为.

所以.

令,则,

令,

易知在上单调递增,又,所以,即,

所以,即实数的取值范围是.