Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，，，且的离心率为，抛物线，点在上．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作的切线，若，直线与交于两点，求面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）．

【解析】

（1）依题意，列出方程组，求得，即可求得椭圆的方程；

（2）设：，联立方程组，利用根与系数的关系，求得， 结合导数，求得，得到，求得的方程，再利用弦长公式和点到直线的距离公式，表示出三角形，结合二次函数的性质，即可求解．

（1）依题意，椭圆，点在椭圆上，，且的离心率为，可得 ，解得，

故椭圆的方程为．

（2）设直线，，，，，

由，整理得，则，

由，可得，所以，

因为，可得，

又，所以，即直线，

联立，整理得，

所以，

所以，

又由原点到直线的距离，

故，

设，则，

代入上式可得，

当，即时，的面积最大，最大值为．