Question

已知点M(2,3)和双曲线x²-=1,求以M为中点的双曲线的弦AB所在的直线l的方程.

Answer 1

思路分析：本题仍然可以根据直线过点M(2,3)设出直线的参数方程,假设弦的两个端点对应的参数分别为t_a,t_b,则由M为弦的中点可知t_A+t_B=0.把直线的参数方程代入双曲线方程可得关于t的二次方程,根据根与系数的关系建立方程即可.

解：根据条件可设直线l的参数方程为(t为参数),

代入双曲线的方程可得

(2+tcosα)²-=1.整理可得(2cos²α-sin²α)t²+(8cosα-6sinα)t-3=0.

设弦的两个端点A,B对应的参数分别为t_a,t_b,因为M(2,3)为弦AB中点,所以t_A+t_B=0,

由二次方程根与系数的关系可得=0,即得8cosα-6sinα=0.

易得tanα=,即直线的斜率为,可得参数方程为(t为参数).

则直线的普通方程为y-3=(x-2),即4x-3y+1=0.

    深化升华 本节内容是直线的参数方程,要认真理解参数方程中参数的几何意义,只有这样才能切实感受到它带给我们的方便,还要注意掌握一些重要的性质.直线和圆锥曲线的关系是解析几何研究的主要内容,在解决有关问题时正确地使用参数方程,可以简化运算过程,使过程更加简单清晰.