题目内容
已知O为坐标原点，向量
=(sinα，1)，
=(cosα，0)，
=(-sinα，2)，点P满足
=
．
（Ⅰ）记函数f(α)=
•
，求函数f（α）的最小正周期；
（Ⅱ）若O，P，C三点共线，求|
+
|的值．
| OA |
| OB |
| OC |
| AB |
| BP |
（Ⅰ）记函数f(α)=
| PB |
| CA |
（Ⅱ）若O，P，C三点共线，求|
| OA |
| OB |
分析：（Ⅰ）设
=(x，y)，由向量的坐标运算求出
、
和
的坐标，由
=
和向量相等的充要条件求出x和y，求出
的坐标，由向量的数量积运算f(α)=
•
和三角公式化简，再由周期公式求出；
（Ⅱ）根据条件得
∥
，代入向量共线的坐标条件，由商的关系求出tanα，再由二倍角的正弦公式和平方、商的关系将sin2α用tanα表示出来并求值，再求出|
+
|的值．
| OP |
| AB |
| BP |
| CA |
| AB |
| BP |
| PB |
| PB |
| CA |
（Ⅱ）根据条件得
| OP |
| 0C |
| OA |
| OB |
解答：解：（Ⅰ）∵
=(sinα，1)，
=(cosα，0)，
=(-sinα，2)
∴
=(cosα-sinα，-1)，
=(2sinα，-1)
设
=(x，y)，则
=(x-cosα，y)，
由
=
得，
，
故
=(2cosα-sinα，-1)，则
=(sinα-cosα，1)，
∴f（α）=（sinα-cosα，1）•（2sinα，-1）
=2sin2α-2sinαcosα-1
=-（sin2α+cos2α）
=-
sin(2α+
)
∴f（α）的最小正周期T=π．
（Ⅱ）由O，P，C三点共线可得：
∥
则（-1）×（-sinα）=2×（2cosα-sinα），
解得tanα=
，
∴sin2α=
=
=
，
∴|
+
|=
=
=
．
| OA |
| OB |
| OC |
∴
| AB |
| CA |
设
| OP |
| BP |
由
| AB |
| BP |
|
故
| OP |
| PB |
∴f（α）=（sinα-cosα，1）•（2sinα，-1）
=2sin2α-2sinαcosα-1
=-（sin2α+cos2α）
=-
| 2 |
| π |
| 4 |
∴f（α）的最小正周期T=π．
（Ⅱ）由O，P，C三点共线可得：
| OP |
| 0C |
则（-1）×（-sinα）=2×（2cosα-sinα），
解得tanα=
| 4 |
| 3 |
∴sin2α=
| 2sinαcosα |
| sin2α+cos2α |
| 2tanα |
| 1+tan2α |
| 24 |
| 25 |
∴|
| OA |
| OB |
| (sinα+cosα)2+1 |
=
| 2+sin2α |
| ||
| 5 |
点评：本题是向量与三角函数的综合题，考查了向量的坐标运算、数量积运算、向量相等的充要条件，三角恒等变换中公式，涉及的公式多，需要熟练掌握并会灵活运用．
练习册系列答案
相关题目
=（sinα，1），
=（cosα，0），
=（-sinα，2），点P是直线AB上的一点，且点B分有向线段
的比为1．
•
，α∈（-
，
），讨论函数f（α）的单调性，并求其值域；
+
|的值．
=（sinα，1），
=（cosα，0），
=（-sinα，2），点P是直线AB上的一点，且点B分有向线段
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•
，α∈（-
，
），讨论函数f（α）的单调性，并求其值域；
+
|的值．