题目内容
已知O为坐标原点，
=(2sin2x，1)，
=(1，-2
sinxcosx+1)，f(x)=-
•
+1．
（1）求y=f（x）的最小正周期；
（2）将f（x）图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍，再将所得图象向左平移
个单位后，所得图象对应的函数为g（x），且α∈[
，
]， β∈(-
，-
)，g(α)=
， g(β)=-
，求cos2（α-β）-1的值．
| OA |
| OB |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| OA |
| OB |
（1）求y=f（x）的最小正周期；
（2）将f（x）图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍，再将所得图象向左平移
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
分析：（1）由题设，由数量积坐标表示公式得到函数y=f（x）的解析式，再由周期公式求解即可；
（2）根据图象变换规则先求出g（x），再利用三角恒等变换公式结合角的变换，即可求cos2（α-β）-1的值．
（2）根据图象变换规则先求出g（x），再利用三角恒等变换公式结合角的变换，即可求cos2（α-β）-1的值．
解答：解：（1）由题设有，f(x)=-sin2x+
sinxcosx+
=
+
=sin(2x+
)，
∴函数y=f（x）的最小正周期为
=π．
（2）由题设有g(x)=sin(x+
)，又g(α)=
， g(β)=-
，
即sin(α+
)=
， sin(β+
)=-
，
因为α∈[
，
]， β∈(-
，-
)，所以α+
∈[
， π]， β+
∈(-
， 0)，
∴cos(α+
)=-
， cos(β+
)=
．
∴sin(α-β)=sin[(α+
)-(β+
)]=sin(α+
)cos(β+
)-cos(α+
)sin(β+
)=
•
-(-
)•(-
)=-
，
所以cos2(α-β)-1=-2sin2(α-β)=-2×(-
)2=-
．
| 3 |
| 1 |
| 2 |
cos2x+
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
∴函数y=f（x）的最小正周期为
| 2π |
| 2 |
（2）由题设有g(x)=sin(x+
| π |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
即sin(α+
| π |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
| π |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
因为α∈[
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
∴cos(α+
| π |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
∴sin(α-β)=sin[(α+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 7 |
| 25 |
所以cos2(α-β)-1=-2sin2(α-β)=-2×(-
| 7 |
| 25 |
| 98 |
| 625 |
点评：本题考查向量的数量积公式，三角恒等变换公式，角的变换技巧，属于能力型，探究型题，综合性强，解题的关键是熟练掌握公式及能观察出角之间的关系
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