Question

已知O为坐标原点，向量=（sinα，1），=（cosα，0），=（-sinα，2），点P是直线AB上的一点，且点B分有向线段的比为1．
（1）记函数f（α）=•，α∈（-，），讨论函数f（α）的单调性，并求其值域；
（2）若O，P，C三点共线，求|+|的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中O为坐标原点，向量=（sinα，1），=（cosα，0），=（-sinα，2），点P是直线AB上的一点，且点B分有向线段的比为1，我们代入定比分点坐标公式，可以求出点P的坐标，进而根据函数f（α）=•，求出函数的解析式，利用除幂公式，及辅助解公式，将函数的解析式化为正弦型函数的形式后，结合α∈（-，）及正弦函数的性质，我们即可求出函数f（α）的单调性，并求其值域；
（2）若O，P，C三点共线，我们向量共线的充要条件，求出tanα的值，结合|+|==，利用万能公式，代入即可求出|+|的值．
解答：解：依题意知：A（sinα，1），B（cosα，0），C（-sinα，2），
设点P的坐标为（x，y），
∵点B分有向线段的比为1
∴cosα=，0=，
∴x=2cosα-sinα，y=-1，
∴点P的坐标为（2cosα-sinα，-1）（2分）
（1）∵=（sinα-cosα，1），=（2sinα，-1）
∴f（α）=•=2sin²α-2sinαcosα-1=-（sin2α+cos2α）=-sin（2α+），（4分）
由2α+∈（0，）可知函数f（α）的单调递增区间为（，），单调递减区间为（-，），（6分）
 所以sin（2α+）∈（-，1]，其值域为[-，1）；（8分）
（2）由O，P，C三点共线的-1×（-sinα）=2×（2cosα-sinα），
∴tanα=，（10分）
∴sin2α===，
∴|+|===（12分）
点评：本题考查的知识点是正弦型函数的单调性，两角和与差的正弦，二倍角的正弦，二倍角的余弦，三点共线，定比分点坐标公式，其中（1）的关键是根据已知条件求出函数f（α）=•的解析式，并化简为正弦型函数的形式，将问题转化为确定正弦型函数的单调区间和值域，（2）的关键是根据向量共线的充要条件，求出tanα的值．