Question

对于数集，其中，，定义向量集. 若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P.例如具有性质P.
（1）若x＞2，且，求x的值；（4分）
（2）若X具有性质P，求证：且当x_n＞1时，x₁=1；（6分）
（3）若X具有性质P，且x₁=1，x₂=q（q为常数），求有穷数列的通
项公式.（8分）

Answer 1

（1）4；（2）见解析；（3），i="1," 2, …, n.

（1）选取，Y中与垂直的元素必有形式.     2分
所以x=2b，从而x=4.                                        4分
（2）证明：取.设满足.
由得，所以、异号.
因为-1是X中唯一的负数，所以、中之一为-1，另一为1，
故                                                   7分
假设，其中，则.
选取，并设满足，即，
则、异号，从而、之中恰有一个为-1.
若=-1，则，矛盾；
若=-1，则，矛盾.
所以x₁=1.                                                 10分
（3）解法一：猜测，i="1," 2, …, n.                         12分
记，k="2," 3, …, n.
先证明：若具有性质P，则也具有性质P.
任取，.当、中出现-1时，显然有满足；
当且时，、≥1.
因为具有性质P，所以有，、Î，使得，
从而和中有一个是-1，不妨设=-1.
假设且，则.由，得，与
矛盾.所以.从而也具有性质P.                15分
现用数学归纳法证明：，i="1," 2, …, n.
当n=2时，结论显然成立；
假设n=k时，有性质P，则，i="1," 2, …, k；
当n=k+1时，若有性质P，则
也有性质P，所以.
取，并设满足，即.由此可得s与t中有且只有一个为-1.
若，则，所以，这不可能；
所以，，又，所以.
综上所述， ，i="1," 2, …, n.                   18分
解法二：设，，则等价于.
记，则数集X具有性质P当且仅当数集B关于
原点对称.                                                14分
注意到-1是X中的唯一负数，共有n-1个数，
所以也只有n-1个数.
由于，已有n-1个数，对以下三角数阵



注意到，所以，从而数列的通项公式为
，k="1," 2, …, n.                         18分